Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆O上一点，过H与圆O相切的直线交AB于E，交CD于F。
（1）当点H在半圆上移动时，切线，EF在AB、CD上的两个交点也分别在AB、CD上移动（E、A不重合，F、D不重合），试问：四边形AEFD的周长是否也在变化？证观你的结论；
（2）设△BOE的面积为S₁，△COF的面积为S₂，正方形ABCD的面积为S，且S₁+S₂=，求BE与CF的长。

Answer 1

解：（1）由题意知，AB、CD、EF都与半圆相切，
∴EH=EB，FH=CF，
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a，
∴四边形AEFD的周长是定值，没有变化；
（2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH，
∴OF⊥EO，
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角，
∴∠EOB=∠OFC，
又∠EBO=∠OCF=90°，
∴△EBO∽△OCF，
∴，
即EB·CF=OC·OB=a²     ①
∵S1+S2=S，
∴OB·BE+OC·CF=·4a²，
即BE+CF=a…②
解①②得BE=a，FC=a；或BE=a，FC=a。