Question

【题目】如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示，给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝24cm2；③当14＜t＜22时，y＝100﹣6t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共3个；⑤当△BPQ与△BEA相似时，t＝14.5，其中正确结论的序号是______．

Answer 1

【答案】①②⑤

【解析】

①由图象可知，点Q到达C时，点P到E则BE＝BC＝10，ED＝4，当0＜t≤10时，BP始终等于BQ即可得出结论；

②由△BPQ的面积等于40求出DC的长，再由S△ABE＝×ABAE即可得出结论；

③当14＜t＜22时，由y＝BCPC代入即可得出结论；

④△ABP为等腰三角形需要分类讨论：当AB＝AP时，ED上存在一个符合题意的P点，当BA＝BP时，BE上存在一个符合题意的P点，当PA＝PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符合题意的P点，即可得出结论；

⑤由当或时，△BPQ与△BEA相似，分别将数值代入即可得出结论．

解：①由图象可知，点Q到达C时，点P到E则BE＝BC＝10，ED＝4，

∵它们运动的速度都是1cm/s．点P、Q同时开始运动，

∴当0＜t≤10时，BP始终等于BQ，

∴△BPQ是等腰三角形；

故①正确；

②∵ED＝4，BC＝10，

∴AE＝10﹣4＝6

t＝10时，△BPQ的面积等于 BCDC＝×10×DC＝40

∴AB＝DC＝8

∴S△ABE＝×ABAE＝×8×6＝24；

故②正确；

③当14＜t＜22时，y＝BCPC＝×10×（22﹣t）＝110﹣5t

故③错误；

④△ABP为等腰三角形需要分类讨论：

当AB＝AP时，ED上存在一个符合题意的P点，

当BA＝BP时，BE上存在一个符合题意的P点，

当PA＝PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符合题意的P点，

∴共有4个点满足题意；

故④错误；

⑤∵△BEA为直角三角形，

∴只有点P在DC边上时，有△BPQ与△BEA相似，

由已知，PQ＝22﹣t，

∴当＝或＝时，△BPQ与△BEA相似，

分别将数值代入＝或＝

解得：t＝（不合题意舍去）或t＝14.5；

故⑤正确；

综上所述，正确的结论的序号是①②⑤．

故答案为：①②⑤．