Question

【题目】已知，在等腰△ABC中，AB=AC，F为AB边上的中点，延长CB至D，使得BD=BC，连接AD交CF的延长线于E．
（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：△CED为等腰三角形

（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

（3）如图3，当 =是（直接填空），△CED为等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，

∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，

而BC=BD，

∴AB=BD，

∴∠D=∠BAD，

而∠ABC=∠D+∠BAD，

∴∠D=30°，

∵F点AB的中点，

∴CF平分∠ACB，

∴∠ACE=∠DCE=30°，

∴∠D=∠DCE，

∴△CED为等腰三角形；

（2）

解：成立．

延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，

在△AMF和△BCF中

，

∴△AMF≌△BCF，

∴AM=BC，∠M=∠BCF，

∵BC=BD，

∴AM=BD，

∵∠M=∠BCF，

∴AM∥CD，

∴∠MAC+∠ACB=180°，

而∠DBA+∠ABC=180°，∠ABC=∠ACB，

∴∠MAC=∠DBA，

在△AMC和△BDA中

，

∴△AMC≌△BDA，

∴∠M=∠D，

∴∠D=∠DCE，

∴△CED为等腰三角形；

（3）
【解析】（3）解：作BH⊥CE于H，连接BE，

由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，
∴EB⊥CD，
设BH=x，则CH=EH=x，BC= x，
易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF= HE= x，
在△BFH中，BF= = x，
∴AB=2BF= x，
∴ = = ．
故答案为 ．
（1）如图1，先证明△ABC为等边三角形得到∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，再证明∠D=∠DCE=30°，然后根据等腰三角形的判定定理得到△CED为等腰三角形；（2）延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，先证明△AMF≌△BCF得到AM=BC，∠M=∠BCF，再证明△AMC≌△BDA得到∠M=∠D，所以∠D=∠DCE，于是可判断△CED为等腰三角形；（3）作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，则EB⊥CD，设BH=x，则CH=EH=x，BC= x，易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF= HE= x，再利用勾股定理计算出BF= x，所以AB=2BF= x，然后计算出 的值．