题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与
轴交于
），
两点，与
轴交于点
，连接
．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点
为抛物线对称轴上一点，连接
，若
，求点的坐标；
（3）已知
，若
是抛物线上一个动点（其中
），连接
，求
面积的最大值及此时点
的坐标．
（4）若点
为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点
，使得以
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，对称轴
；（2）
；（3）面积有最大值是
，
；（4）存在点
使得以
为顶点的四边形是平行四边形，
或
或
.
【解析】
（1）将点A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；
（2）过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，设点D（1，y），在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，可以证明CD=BD，即可求y的值；
（3）过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，证明四边形QRPE是矩形，根据S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP，代入边即可；
（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M（2，2）或M（4，- 
）或M（-2，-）；
解：（1）将点
代入
，
可得
，
；
对称轴
；
（2）如图1：过点
作
轴于
，作
轴于
，
设点
，
，
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
，
；
（3）如图2：过点
作
轴于点
，过点
作直线
轴于
，过点作
于
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
当
时，面积有最大值是
，
此时
；
（4）存在点使得以
为顶点的四边形是平行四边形，
设
，
①四边形
是平行四边形时，
②四边形
时平行四边形时，
，
；
③四边形
时平行四边形时，
，
，
；
综上所述：
或
或
；
