题目内容
【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC= 90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长DB交CF于点H.
①求证:BD⊥CF;
②当AB=2,AD=3时,求线段DH的长.
【答案】(1)BD=CF成立,理由详见解析;(2)①详见解析;②.
【解析】
试题分析:(1)先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD=CF成立;(2)利用△HFN与△AND的内角和以及它们的等角,得到∠NHF=90°,即可得①的结论;(3)连接DF,延长AB,与DF交于点M,利用△BMD∽△FHD求解.
试题解析:(l)解:BD=CF成立.
证明:∵AC=AB,∠CAF=∠BAD=θ;AF=AD,△ABD≌△ACF,∴BD=CF.
(2)①证明:由(1)得,△ABD≌△ACF,∴∠HFN=∠ADN,
在△HFN与△ADN中,∵∠HFN=∠AND,∠HNF=∠AND,∴∠NHF=∠NAD=90°,
∴HD⊥HF,即BD⊥CF.
②解:如图,连接DF,延长AB,与DF交于点M.
在△MAD中,∵∠MAD=∠MDA=45°,∴∠BMD=90°.
在Rt△BMD与Rt△FHD中,∵∠MDB=∠HDF,∴△BMD∽△FHD.
∴AB=2,AD=3,四边形ADEF是正方形,∴MA=MD==3.
∴MB=3-2=1,DB==.
∵=.∴=.
∴DH=.
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