题目内容

【题目】如图1,ABC是等腰直角三角形,BAC= 90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BDCF成立.

1ABC绕点A逆时针旋转θ(0°θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

2ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长DB交CF于点H.

求证:BDCF;

当AB=2,AD=3时,求线段DH的长.

【答案】1BD=CF成立,理由详见解析;(2)详见解析;.

【解析】

试题分析:(1)先用SAS证明CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD=CF成立;(2)利用HFN与AND的内角和以及它们的等角,得到NHF=90°,即可得的结论;(3)连接DF,延长AB,与DF交于点M,利用BMD∽△FHD求解.

试题解析:l解:BD=CF成立.

证明:AC=AB,CAF=BAD=θ;AF=AD,ABD≌△ACF,BD=CF.

2证明:由1得,ABD≌△ACF,∴∠HFN=ADN,

HFN与ADN中,∵∠HFN=AND,HNF=AND,∴∠NHF=NAD=90°,

HDHF,即BDCF.

解:如图,连接DF,延长AB,与DF交于点M.

MAD中,∵∠MAD=MDA=45°∴∠BMD=90°.

在RtBMD与RtFHD中,∵∠MDB=HDF,∴△BMD∽△FHD.

AB=2,AD=3,四边形ADEF是正方形,MA=MD==3.

MB=3-2=1,DB=.

..

DH=.

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