Question

已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，

三边a、b、c	a+b-c	S L
6，8，10	4	1
8，15，17	6	3 2
9，40，41	8	2

设△ABC的面积为S，周长为L．
（1）填表：
（2）如果a+b-c=m，观察上表猜想：

S

L

=

 

；（用含m的代数式表示）
（3）证明（2）中的结论．

Answer 1

分析：（1）分别求出每个直角三角形的面积和周长，计算面积与周长的比即可；
（2）根据求得的a+b-c与

S

L

的值，总结其规律，写出即可；
（3）用m、c的式子表示出a、b，分别表示出其周长及面积，用面积除以周长即可完成证明．

解答：解：（1）∵S=

1

2

×6×8=24，
L=6+8+10=24，
∴

S

L

=

24

24

=1，
∴同理可得其他两空分别为

3

2

，2；

（2）

m

4

；

（3）证明：∵a+b-c=m，
∴a+b=m+c，
∴a²+2ab+b²=m²+2mc+c²，
又∵a²+b²=c²，
∴2ab=m²+2mc，
∴S=

ab

2

=

1

4

m(m+2c)，
∴

S

L

=

1 2 ab

a+b+c

=

1 4 m(m+2c)

m+c+c

=

m

4

．

点评：本题考查了勾股定理的相关知识，在完成证明时候用到了完全平方公式，是一道中档考题．