Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三点．

（1）求抛物线的解析式及点D坐标；
（2）点M是抛物线对称轴上一动点，求使BM－AM的值最大时的点M的坐标；
（3）如图2，将射线BA沿BO翻折，交y轴于点C，交抛物线于点N，求点N的坐标；
(4)在（3）的条件下，连结ON,OD，如图2，请求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer 1

（1）y=x²﹣3x；（2，﹣2）；（2）（，）；（3）（）；（4）（）或（）．

试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，将（3，0）、B（4，4）代入y=ax²+bx即可求得抛物线的解析式，令x=2，即可求得点D坐标；
（2）抛物线对称轴上使BM－AM的值最大时的点M即直线AB与抛物线对称轴的交点，从而应用待定系数法求出直线AB的解析式，即可求得点M的坐标；
（3）用待定系数法求出直线CB的解析式，由点N在直线CB和抛物线y=x²﹣3x上，即可求出N点的坐标；
（4）应用对称或旋转的性质即可求得点P的坐标.
试题解析：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4），
∴抛物线的解析式是y=x²﹣3x．∴D点的坐标为（2，﹣2）．
（2）设直线AB解析式为：y="kx+m,"    将 A（3，0）、B（4，4）代人得
，解得. ∴直线AB解析式为：.
∵抛物线对称轴为，当时， ，
∴当点M（，）时，BM－AM的值最大.
（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
根据轴对称性质得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，OB="OB," ∴△AOB≌△COB.
∴OC="OA." ∴点C（0，3）.
设直线CB的解析式为y=kx+3，过点（4，4），∴直线CB的解析式是.
∵点N在直线CB上，∴设点N（n，）.
又点N在抛物线y=x²﹣3x上，∴，解得：n₁=，n₂=4（不合题意，舍去）。
∴N点的坐标为（）．
（4）如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，则N₁（），B₁（4，﹣4），
∴O、D、B₁都在直线y=﹣x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，∴△P₁OD∽△N₁OB₁. ∴.
∴点P₁的坐标为（）.
将△OP₁D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（）.
综上所述，点P的坐标是（）或（）．