Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若PC=2

5

，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OB，根据等腰三角形性质得出∠ABC=∠ACB，∠OBP=∠OPB，求出∠ABC+∠OBP=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）延长AO交⊙O于D，连接BD，设⊙O半径为R，则AP=5-R，OB=R，根据勾股定理得出方程5²-R²=（2

5

）²-（5-R）²，求出R即可．求出AC=AB=4，△DBP∽△CAP，得出

CP

PD

=

AP

BP

，代入求出BP即可．

解答：（1）证明：
连接OB，
∵OA⊥直线l，
∴∠PAC=90°，
∴∠APC+∠ACP=90°，
∵AB=AC，OB=OP，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBP=∠OPB，
∵∠BPO=∠APC，
∴∠ABC+∠OBP=90°，
∴OB⊥AB，
∵OB过O，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：
延长AO交⊙O于D，连接BD，
设⊙O半径为R，则AP=5-R，OB=R，
在Rt△OBA中，AB²=5²-R²，在Rt△APC中，AC²=（2

5

）²-（5-R）²，
∵AB=AC，
∴5²-R²=（2

5

）²-（5-R）²，
解得：R=3，
即⊙O半径为3，
则AC=AB=4，
∵PD为直径，OA⊥直线l，
∴∠DBP=∠PAC，
∵∠APC=∠BPD，
∴△DBP∽△CAP，
∴

CP

PD

=

AP

BP

，
∴

2 5

6

=

2

BP

，
∴PB=

6 5

5

．

点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．