题目内容
【题目】【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”) 和直角三角形全等的判定方法(即“HL”) 后, 我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
不妨将问题用符号语言表示为: 在△ABC和△DEF中, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E,
然后, 对∠B进行分类, 可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况: 当∠B是直角时, △ABC≌△DEF.
(1) 如图①, 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E = 90°, 根据_____________, 可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况: 当∠B是钝角时, △ABC≌△DEF.
(2) 如图②, 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E, 且∠B、∠E都是钝角.
求证: △ABC≌△DEF.
第三种情况: 当∠B是锐角时, △ABC和△DEF不一定全等.
(3) 在△ABC和△DEF, AC = DF, BC = EF, ∠B = ∠E, 且∠B、∠E都是锐角, 请你用尺规在图③中作出△DEF, 使△DEF和△ABC不全等. (不写作法, 保留作图痕迹)
(4) ∠B还要满足什么条件, 就可以使△ABC≌△DEF ? 请直接写出结论: 在△ABC和△DEF中, AC = DF, BC = EF, ∠B =∠E, 且∠B、∠E都是锐角, 若__________, 则△ABC≌△DEF.
【答案】(1) HL(2)证明见解析(3) △DEF和△ABC不全等(4) 若∠B ≥∠A, 则△ABC≌△DEF
【解析】试题分析：（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
试题解析：（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
AC=DF，CG=FH
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
