题目内容
【题目】已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=
，AE⊥BD，垂足为E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF，BF．
（1）AE的长为 ，BE的长为 ；
（2）如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′．
①在旋转过程中，当A′F′与AE垂直于点H，如图3，设BA′所在直线交AD于点M，请求出DM的长；
②在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为以PQ为底的等腰三角形？请直接写出DQ的长．
【答案】（1）4；3；（2）①
；②DQ=3
-
，DQ=-，DQ=-5=
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理求得BD的长，根据三角形面积公式求出AE的长，再应用勾股定理即可求得BE的长．
（2）①先用tan∠ADB=
，设出MG，表示出DG，DM，求出BG=BD-DG=-4x，再用tan∠MBD=
，建立方程求出x，即可；
②分DP=DQ（考虑点Q在线段BD的延长线和点Q在线段BD上两种情况），PD=PQ两种情况求解即可．
试题解析：（1）∵AB=5，AD=
，
∴由勾股定理得BD=
．
∵S△ABD=
AB×AD=BD×AE，
∴×5×
=××AE，
∴AE=4．
∴BE=
=3，
（2）①作MG⊥BD，A′N⊥BD，
∴tan∠ADB=
，
设MG=3x，则DG=4x，DM=5x，
∴BG=BD-DG=-4x，
∵A′F′⊥AE，AE⊥BD，A′N⊥BD，A′F′⊥BF′，
∴四边形BF′A′N是矩形，
∴A′N=BF′=3，BN=A′F′=AE=4，
∵tan∠MBD=，
∴
，
∴x=
，
∴DM=5x=；
②存在，理由如下：
Ⅰ、当DP=DQ时，若点Q在线段BD的延长线上时，如图1，
有∠Q=∠1，则∠2=∠1+∠Q=2∠Q．
∵∠3=∠4+∠Q，∠3=∠2，
∴∠4+∠Q=2∠Q．
∴∠4=∠Q．
∴A′Q=A′B=5．
∴F′Q=A′F′+A′Q=4+5=9．
在Rt△BF′Q中，81+9=（+DQ）2
∴DQ=3-或DQ=-3-（舍去）．
若点Q在线段BD上时，如图2，
有∠QPD=∠PQD=∠BQA′，
∵∠DPQ=∠BMQ，
∴∠BMQ=∠BQM．
∵∠BMQ=∠A′BM+∠A′，∠A′=∠CBD，
∴∠BMQ=∠A′BM+∠CBD=∠A′BQ．
∴∠BQM=∠∠A′BQ．
∴A′Q=A′B=5．
∴F′Q=A′Q-A′F′=5-4=1．
∴BQ=
=
∴DQ=BD-BQ=-
Ⅱ、当PD=PQ时，如图4，
有∠ADB=∠DQP=∠BQA′，
∵∠ADB=∠A′，
∴∠BQA′=∠A′．
∴BQ=A′B=5．
∴DQ=BD-BQ=-5=
综上所述，当△DPQ为等腰三角形时，DQ的长为DQ=3-，DQ=-，DQ=-5=
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