Question

【题目】理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===2﹣．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===2﹣．
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．

（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；

（3）拓展：如图3，直线y=x﹣1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）方法一：如图1，

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．

设AC=1，则BD=BA=2，BC=．

tan∠DAC=tan75°====2+；

方法二：tan75°=tan（45°+30°）

====2+；

（2）

如图2，

在Rt△ABC中，

AB===，

sin∠BAC===，即∠BAC=30°．

∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．

在Rt△ABD中，tan∠DAB=，

∴DB=ABtan∠DAB=（2+）=+90，

∴DC=DB﹣BC=+90﹣30=+60．

答：这座电视塔CD的高度为（+60）米；

（3）

①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．

过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．

解方程组，得

或，

∴点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）．

对于y=x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，

∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，

∴tan∠ACF===，

∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）

=

==3，即=3．

设点P的坐标为（a，b），

则有，

解得：或，

∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）；

②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．

由①可知∠ACP=45°，P（（，3），则CP⊥CG．

过点P作PH⊥y轴于H，

则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，

∴△GOC∽△CHP，

∴=．

∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH=，OC=1，

∴==，

∴GO=3，G（﹣3，0）．

设直线CG的解析式为y=kx+b，

则有，

解得，

∴直线CG的解析式为y=x﹣1．

联立，

消去y，得

=x﹣1，

整理得：x2+3x+12=0，

∵△=32﹣4×1×12=﹣39＜0，

∴方程没有实数根，

∴点P不存在．

综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）．

【解析】（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；
（2）如图2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AB，运用三角函数求得∠BAC=30°．从而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，运用三角函数就可求出DB，从而求出DC长；
（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F，可先求出点A、B、C的坐标，从而求出tan∠ACF的值，进而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=tan（45°+∠ACF）的值，设点P的坐标为（a，b），根据点P在反比例函数的图象上及tan∠PCE的值，可得到关于a、b的两个方程，解这个方程组就可得到点P的坐标；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4，由①可知∠ACP=45°，P（（，3），则有CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，易证△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出GO，从而得到点G的坐标，然后用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的方程，运用根的判别式判定，得到方程无实数根，此时点P不存在．
【考点精析】关于本题考查的公式法和求根公式，需要了解要用公式解方程，首先化成一般式．调整系数随其后，使其成为最简比．确定参数abc，计算方程判别式．判别式值与零比，有无实根便得知．有实根可套公式，没有实根要告之；根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根才能得出正确答案．