Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线l：y=-

1

2

x+b交折线OAB于点E．
（1）当直线l过点A时，b=

1.5

，点D的坐标为

（1，1）

；
（2）当点E在线段OA上时，判断四边形EABD关于直线DE的对称图形与长方形OABC的重叠部分的图形的形状，并证明你的结论；
（3）若△ODE的面积为s，求s与b的函数关系式，并写出自变量b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先将A点的坐标代入y=-

1

2

x+b求出解析式，当y=1代入解析式就可以求出结论；
（2）如图根据轴对称的性质和平行线的性质可以得出∠2=∠3，从而得出结论；
（3）分两种情况进行讨论，当点E在线段OA上时，由直线l的解析式易得E（2b，0），再根据三角形的面积公式就可以求出结论，当点E在线段AB上（不与点A重合）时，先求出E（3，b-

3

2

）、D（2b-2，1）．由s=s_梯形OABD-s_△OAE-s_△DBE就可以求出结论．

解答：解：（1）∵A（3，0）在y=-

1

2

x+b上，
∴b=

3

2

，
∴y=-

1

2

x+

3

2

．
当y=1时，x=1
∴D的坐标为（1，1）．      
（2）等腰三角形．   
如图所示，设DB沿直线DE折叠后交OA于点F．
∵在长方形OABC中，
∴∠B=∠B A O=90°．
∴DB∥OA．
∴∠1=∠3．
根据折叠对称性，易知∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴DF=EF． 
即重叠部分的图形为等腰三角形．
（3）①当点E在线段OA上时，由直线l的解析式易得E（2b，0）．    
∴s=

1

2

×2b×1=b．     
自变量的取值范围是1＜b≤

3

2

．        
②当点E在线段AB上（不与点A重合）时，
由直线l的解析式及A（3，0），易得E（3，b-

3

2

），
由直线l的解析式及 C（0，1），易得 D（2b-2，1）．
∴s=s梯形OABD-s△OAE-s△DBE=-b2+

5

2

b．    
自变量的取值范围是

3

2

＜b＜

5

2

．

点评：本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质的运用，点在函数图象上，点的坐标满足函数的解析式．也考查了分类讨论思想的运用和用坐标表示线段的长以及三角形的面积公式．