Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线 交x轴、y轴分别于点A、点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转 得到△COD.直线CD交直线AB于点E,如图1.

图1
（1）求：直线CD的函数关系式．
（2）如图2，连接OE，过点O作 交直线CD于点F，如图2.

图2
① 求证： = ．
② 求：点F的坐标．
（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令x=0,B(0,4),令y=0,A(3,0),则D(-4，0),C(0，

解设过D,C直线解析式是 ,

,

解得 ,

（2）解：① ,

，

△AOB旋转了90°，所以 , ，

,

△DFO≌△BOE,可得OF=OE ,

∠OEF=45°.

②联立 ，解得E( ，由①知，△DFO≌△BOE,

所以旋转以后得F ( ).

（3）解：如图，

与 CDO面积相等（也就是全等）满足题意的三角形有三个，

在△ ,,D(-4,0)点是C(0,3)和 中点， , ,

所以有 ,

在 ,由题意知Q3,(1,0),OD=O ，勾股定理知，P3纵坐标 ，代入直线 ，得到P3（ ））

在 由题意知D(-4,0)是P1（x,y），P3（ ）中点, =-4, =0, ,

所以 ,

所以P的坐标是， ， ， .

【解析】（1）根据题意得到A、B两点的坐标，由旋转的性质，得到C、D的坐标，求出直线CD的函数关系式；（2）根据角的和差和旋转的性质，得到△DFO≌△BOE，得到OF=OE，由OF⊥OE ，得到∠OEF=45°；联立两条直线，得到得到点E的坐标，由△DFO≌△BOE和旋转的性质，得到点F的坐标；（3）根据题意得到与△CDO面积相等（也就是全等）满足题意的三角形有三个，在△DP2Q2 中，得到D、C的坐标，求出P点坐标；在△DP3Q3中，根据勾股定理求出P点坐标；在△DP1Q1 中，根据题意求出P点坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.