Question

如图，直径为13的⊙O′经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求C点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，在⊙O′上是否存在点P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接AB，∵∠BOA=90°，
∴AB为直径，根与系数关系得OA+OB=-k，OA•OB=60；
根据勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，∴k=±17（正值舍去）．
则有方程x²-17x+60=0，x=12，或5．
又OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．

（2）若OC²=CD•CB，则△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
所以点C是弧OA的中点．
连接O′C交OA于点E，根据垂径定理的推论，得O′E⊥OA，
根据垂径定理，得OE=6，
根据勾股定理，得O′E=

O′O2-OE2

=

6.52-62

=2.5，
∴CE=6.5-2.5=4，
即C（6，-4）．

（3）设直线BC的解析式是y=kx+b，
则

b=5 6k+b=-4

解得：

k=- 3 2 b=5

，
则直线BC的解析式是y=-

3

2

x+5，
令y=0，解得：x=

10

3

，
则OD=

10

3

，AD=12-

10

3

=

26

3

，
∴S_△ABD=

1

2

×5×

26

3

=

65

3

．
若S_△ABD=S_△OBD，P到x轴的距离是h，
则

1

2

×

10

3

h=

65

3

，解得：h=13．
而⊙O′的直径是13，因而P不能在⊙O′上，
故P不存在．