题目内容
【题目】已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=______，如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=______，如图3，若∠ACD=α，则∠AFB=______（用含α的式子表示）；
（2）设∠ACD=α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以说明．
【答案】（1）120°，90°，180°-α；（2）∠AFB=180°-α，理由见解析
【解析】
（1）如图1，先根据SAS证明△BCD≌△ECA，从而得到∠EAC=∠BDC，再根据三角形外角性质求出其度数．如图2，先根据HL证明△ACE≌△DCB，从而得到∠AEC=∠DBC，进而得出∠AFB的度数．如图3，由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，从而求得∠AFB；
（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再根据SAS证明△ACE≌△DCB，从而得到∠CBD=∠CEA，再根据三角形内角和定理得到结论．
（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠EAC=∠BDC．
又∵∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB（HL）．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．
（2）∠AFB=180°-α；理由如下：
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
∵
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠CBD=∠CEA，
∴∠EFB=∠ECB=α．
∴∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．
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