题目内容

某班同学到野外活动,为测量一池塘两端A、B的距离,设计了几种方案,下面介绍两种:
(I)如图(1),先在平地取一个可以直接到达A、B的点C,并分别延长AC到D,BC到E,使DC=AC,BC=EC,最后测出DE的距离即为AB的长.
(II)如图(2),先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C、D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出DE的长即为AB的距离.

阅读后回答下列问题:
(1)方案(I)是否可行?______,理由是______;
(2)方案(II)是否切实可行?______,理由是______.
(3)方案(II)中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是______;若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案(II)是否成立?
(4)方案(II)中,若使BC=n•CD,能否测得(或求出)AB的长?理由是______,若ED=m,则AB=______.
(1)方案(Ⅰ)可行;
∵DC=AC,EC=BC且有对顶角∠ACB=∠DCE,
∴△ACB≌△DCE(SAS),
∴AB=DE,
∴测出DE的距离即为AB的长.
故方案(Ⅰ)可行.

(2)方案(Ⅱ)可行;
∵AB⊥BC,DE⊥CD,
∴∠ABC=∠EDC=90°,
又∵BC=CD,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC≌△EDC,
∴AB=ED,
∴测出DE的长即为AB的距离.
故方案(Ⅱ)可行.

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是作直角三角形;
若∠ABD=∠BDE≠90°,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC△EDC,
AB
ED
=
BC
CD

∴只要测出ED、BC、CD的长,即可求得AB的长.
∵BC=CD,∴ED=AB,
∴方案(Ⅱ)成立.

(4)根据(3)中所求可以得出,
AB
ED
=
BC
CD

∵BC=n•CD,
AB
ED
=n,求出DE即可得出答案,
当ED=m,则AB=mn.
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