题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，将函数
为常数)的图象记为
图象
与直线
的交点坐标为
．
（1）若点
在图象上，求
的值；
（2）求
的最小值；
（3）当直线
的图象与函数为常数)的图像只有一个公共点时，求的取值范围；
（4）若
点
在图象上，且点的横坐标为
点关于
轴的对称点为点
.当点不在坐标轴上时，以点
为顶点构造矩形
使点
落在
轴上.当图象与矩形
的边有两个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
；（2）y0的最小值为
；（3）m的取值范围是
，m＞2或m≤0；（4）当m＞0时，若抛物线与矩形有2个交点，
或
．
【解析】
（1）把
代入：
即可得到答案；
（2）把
代入：
，得到：
根据
的取值范围可得答案；
（3）由函数 (
m为常数)的对称轴为：
顶点坐标为
界点坐标
，结合函数图像分情况讨论即可得到答案；
（4）分情况讨论：先求解当m+1=2m，此时
，①当0＜m＜1时，再根据界点在
的上下方，可得的范围，② 当m＞1时，若点A在x轴上，则
，讨论当1＜m＜
时的交点情况，③ 当m＞时，点A在点B的上方，若有两个交点，还需满足界点在BC下方，结合函数图像可得答案，最后综合以上情况可得的范围．
解：（1）把代入：
；
（2） (m为常数)，
，
当m＞0时，a=3＞0， y0有最小值，
时，y0的最小值为，
当
时，
，因此，y0的最小值为．
（3）函数 (m为常数)的对称轴为：
顶点坐标为
如图：当
过顶点时，
，
当m＞0时，
当
时，界点坐标为
当界点在直线时，
（舍去），
此时，直线在界点的下方，
＜
＞
，
＞，
＞，
＞，且
＞，
＞
，
此时，直线的图象与函数
为常数)的图像只有一个公共点时，
＞，
当＜
时，界点坐标为
当界点在直线的上方时，
＜
＞，
＞，
＜，
＜且＜，
解得：＜，
此时，直线的图象与函数为常数)的图像只有一个公共点时，则＜，
综上，m的取值范围是， m＞2或m≤0．
（4）当m+1=2m，m=1，所以，
① 0＜m＜1时，此时，界点坐标为： 
当顶点在边AD上方，若有两个交点，还需满足界点在AD下方，
解得：
≤m＜1．
同时，也说明当0＜m＜时，界点在AD上方，只有一个交点，不满足要求．
② 当m＞1时，
若点A在x轴上，
则．
（舍去）
当1＜m＜时，函数图像在矩形的右下方，只有一个交点，不满足要求．
③ 当m＞时，点A在点B的上方，若有两个交点，还需满足界点在BC下方，
关于
轴对称，
利用图像法得：
所以， ＜m≤
．
综上，当m＞0时，若抛物线与矩形有2个交点，则≤m＜1 或＜m≤．
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