Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y。
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵AC=3，BC=4
∴AB=5
∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=，AD=；
（2）①当0＜x≤时
∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC
∴
即EF=x
∴y=·x·x=
当＜x≤5时
易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5-x）
∴y=·x·（5-x）=≤
②当0＜x≤时，y随x的增大而增大，
，即当x=时，y最大值为
当＜x≤5时，
∵
∴当时，y的最大值为
∵＜
∴当时，y的最大值为；
（3）假设存在 当0＜x≤5时，AF=6-x
∴0＜6-x＜3
∴3＜x＜6
∴3＜x≤5
作FG⊥AB与点G 由△AFG∽△ACD可得
∴，即FG=
∴x·=
∴=3，即2x²-12x+5=0
解之得，
∵3＜x₁≤5
∴x₁=符合题意
∵x₂=＜3
∴x₂不合题意，应舍去
∴存在这样的直线EF，此时，x=。