题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系内，抛物线
与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D.点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.
（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当
的周长最小时，求
面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，当的面积最大时，过点E作
轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N，再将点N向上平移
个单位长度.得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形.若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
，
，
【解析】
（1）连接QA交抛物线对称轴于M，此时△MQC周长最小，可求出M（1，
），再求出直线CM解析式y=-
x+1，设点E（t，-t2+2t+3），根据S△ECM=
ES（C横坐标-M横坐标）可得出S△ECM=-（t-
）2+，即S△CME最大值=；
（2）根据题意可求得P（3，2），利用两点间距离公式或勾股定理得DP=2
，由菱形性质得PH∥DG∥y轴，PH=DP=2，分两种情况：①点H在点P上方；②点H在点P下方．
（1）令y=0，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），C（3，0），
令x=0，得y=3，
∴B（0，3），
如图1，过Q作QF⊥x轴于F，
∵QF∥OB，
∴△CQF∽△CBO，
∴
∵点Q为线段BC的三等分点（靠近点C），
∴
∴
，
∴QF=CF=1，
∴Q（2，1），
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），抛物线对称轴x=1
连接AQ交抛物线对称轴于M，则M（1，），此时△MQC周长最小．
设直线CM解析式为y=kx+b，则
span>，解得：
；
∴y=-x+1，
设E（t，-t2+2t+3）为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过E作EN⊥x轴于N，EN交CM于S，
则，S（t，-t+1），
∴ES=-t2+2t+3-（-t+1）=-t2+
t+2，
∴S△CME＝×2ES=-t2+t+2=-（t-）2+，
∵-1＜0，
∴当t=时，S△CME最大值=，
（2）存在．如图2，由（1）知CN=OC-ON=3-=
，由旋转得CN′=CN=，CN′⊥x轴，
由题意得CP⊥x轴，CP=CN′+N′P=2，
∴P（3，2）
∴DP=
，
∵四边形DPHG是菱形，
∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，
∴H（3，2-2），
如图3，
∵四边形DPHG是菱形，
∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，
∴H（3，2+2）．
如图4，四边形DPGH是菱形，P与H关于抛物线对称轴对称，
∴H（-1，2）．
如图5，过点P作PG⊥直线x=1于G，作DH⊥直线x=1，过P作PH⊥DH于H，
∵PH=DG=DH=PG=2，∠PGD=90°
∴四边形DPGH是菱形，
∴H（3，4）
综上所述，点H的坐标为（3，2-2）或（3，2+2）或（-1，2）或（3，4）．
名校课堂系列答案
【题目】小明和小李准备七月初到重庆或长沙去旅游，为了了解这两个城市哪个更热，他们查阅资料，收集了两个城市2018年七月前两周最高温度的记录，如下表
日期（七月） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
重庆最高温度/℃ | 33 | 36 | 34 | 31 | 31 | 30 | 30 | 33 | 34 | 36 | 37 | 35 | 37 | 37 |
长沙最高温度/℃ | 29 | 34 | 35 | 35 | 36 | 29 | 31 | 31 | 34 | 35 | 35 | 31 | 35 | 35 |
根据上表，他们将两个城市的最高温度分别绘制了如下的频数分布直方图和统计表，并对数据进行了整理
最高温度/℃ | 天数 | ||||||
28≤x＜30 | 2 | ||||||
30≤x＜32 | a | ||||||
32≤x＜34 | 0 | ||||||
34≤x＜36 | 8 | ||||||
36≤x＜38 | 1 | ||||||
平均数/℃ | 中位数/℃ | 众数/℃ | 34℃以上天数 | 30℃以下天数 | |||
重庆 | 33.9 | 34 | c | 6 | 0 | ||
长沙 | 33.2 | b | 35 | 7 | 2 | ||
回答如下问题
（1）本次调查的目的是 ；
（2）补全频数分布直方图并写出表中a，b，c的值，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）结合以上分析，你认为七月初哪个城市更热，请写出两条支持你观点的理由．
【题目】某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
20 | 21 | 19 | 16 | 27 | 18 | 31 | 29 | 21 | 22 |
25 | 20 | 19 | 22 | 35 | 33 | 19 | 17 | 18 | 29 |
18 | 35 | 22 | 15 | 18 | 18 | 31 | 31 | 19 | 22 |
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量 | 平均数 | 众数 | 中位数 |
数值 | 23 | m | 21 |
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中众数m的值为 ；
（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据 来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．