Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点B（-2，0），A（m，0）（-＜m＜0），以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连接BE与AD相交于点F。

（1）求证：BF=DO；
（2）设直线l是△BDO的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G，若G是△BDO的外心，试求经过B、F、O三点的抛物线的解析表达式；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线BE的对称点在x轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）在和中，
∵四边形是正方形
∴
又∵
∴
∴。
（2）由（1）得，
∵
∴点
∵G是的外心
∴点G在DO的垂直平分线上
∴点B也在DO的垂直平分线上
∴为等腰三角形，
而
∴
∴
∴
设经过三点的抛物线的解析表达式为 ①
∵抛物线过点
∴
∴
把点，的坐标代入①中，得

即
解得
抛物线的解析表达式为 ②。
（3）假定在抛物线上存在一点P，使点P关于直线BE的对称点在x轴上
∵BE是的平分线
∴x轴上的点关于直线BE的对称点P必在直线BD上，
即点P是抛物线与直线BD的交点．
设直线BD的解析表达式为，并设直线BD与y轴交于点Q
，则由是等腰直角三角形
∴，
把点，代入中，得

∴
∴直线BD的解析表达式为
设点，则有 ③
把③代入②，得
∴，即
∴
解得或
当时，
当时，
∴在抛物线上存在点，它们关于直线BE的对称点都在x轴上。