题目内容
【题目】使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0可得x=1,我们就说1是函数y=x-1的零点.
已知y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数).
(1)当m=0时,求该函数的零点;
(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;
(3)设函数的两个零点分别为x1和x2,且,此时函数图象与x轴的交点分别为A,B(点A在点B左侧),点M在直线y=x-10上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数表达式.
【答案】(1)或-(2)y=-x-1
【解析】试题分析:(1)根据题中给出的函数的零点的定义,将m=0代入y=x2-2mx-2(m+3),然后令y=0即可解得函数的零点;
(2)令y=0,函数变为一元二次方程,要想证明方程有两个解,只需证明△>0即可;
(3)根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标,个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′,连接AB′,求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时,直线AM的函数解析式.
试题解析:(1)当=0时,该函数为,令=0,可得,
∴当=0时,求该函数的零点为和。
(2)令=0,得△=,
∴无论取何值,方程总有两个不相等的实数根。
即无论取何值,该函数总有两个零点
(3)依题意有,
由得,即,解得。
∴函数的解析式为令=0,解得。
∵点A在点B左侧,∴A(),B(4,0)。
作点B关于直线的对称点B’,连结AB’,则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。易求得直线与轴、轴的交点分别为C(10,0),D(0,10)。Z.X.X.K]
连结CB’,则∠BCD=45°,∴BC=CB’=6,∠B’CD=∠BCD=45°。
∴∠BCB’=90°,即B’()。设直线AB’的解析式为,则Z-X-X-K]
,解得∴直线AB’的解析式为,
即AM的解析式为