题目内容
【题目】设抛物线F的解析式为:y=2x2﹣4nx+2n2+n,n为实数.
(1)求抛物线F顶点的坐标(用n表示),并证明:当n变化时顶点在一条定直线l上;
(2)如图,射线m是(1)中直线l与x轴正半轴夹角的平分线,点M,N都在射线m上,作MA⊥x轴、NB⊥x轴,垂足分别为点A、点B(点A在点B左侧),当MA+NB=MN时,试判断是否为定值,若是,请求出定值;若不是,说明理由.
(3)已知直线y=kx+b与抛物线F中任意一条都相截,且截得的长度都为,求这条直线的解析式.
【答案】(1)详见解析;(2)2;(3)y=x+2.
【解析】
(1)将抛物线配方成顶点式可得顶点坐标及其所在直线解析式;
(2)由直线l的斜率及角平分线得出∠NOB=30°、MA=OM、NB=ON,根据MA+NB=OM+ON=OM+(OM+MN)=MN知OM=MN,由可得答案;
(3)联立得2x2-(4n+k)x+2n2+n-b=0,设交点坐标为P(x1、y1)、Q(x2,y2),由韦达定理知x1+x2=、x1x2=,从而由为定值得k=,进一步求解可得.
(1)∵y=2x2﹣4nx+2n2+n=2(x﹣n)2+n,
∴抛物线的顶点坐标为F(n, n),
由图可设直线l的解析式为y=kx,
将点F(n, n)代入,得: n=kn,
解得:k=,
则当n变化时,顶点在直线y=x上;
(2)∵由直线l的斜率为知直线l与x轴正半轴的夹角为60°,
∴∠NOB=30°,MA=OM、NB=ON,
MA+NB=OM+ON=OM+(OM+MN)=MN,
∴OM=MN,
则=2;
(3)联立,得:2x2﹣(4n+k)x+2n2+n﹣b=0,
设交点坐标为P(x1、y1)、Q(x2,y2),
由韦达定理知x1+x2=、x1x2=,
∴PQ=
=
=
=为定值,
则一定有k=,
代入得3+8b=19,
解得b=2,
故直线的解析式为y=x+2.