题目内容

【题目】设抛物线F的解析式为:y2x24nx+2n2+nn为实数.

1)求抛物线F顶点的坐标(用n表示),并证明:当n变化时顶点在一条定直线l上;

2)如图,射线m是(1)中直线lx轴正半轴夹角的平分线,点MN都在射线m上,作MAx轴、NBx轴,垂足分别为点A、点B(点A在点B左侧),当MA+NBMN时,试判断是否为定值,若是,请求出定值;若不是,说明理由.

3)已知直线ykx+b与抛物线F中任意一条都相截,且截得的长度都为,求这条直线的解析式.

【答案】(1)详见解析;(2)2;(3)yx+2

【解析】

1)将抛物线配方成顶点式可得顶点坐标及其所在直线解析式;
2)由直线l的斜率及角平分线得出∠NOB=30°MA=OMNB=ON,根据MA+NB=OM+ON=OM+OM+MN=MNOM=MN,由可得答案;
3)联立2x2-4n+kx+2n2+n-b=0,设交点坐标为Px1y1)、Qx2y2),由韦达定理知x1+x2=x1x2=,从而由为定值得k=,进一步求解可得.

1)∵y2x24nx+2n2+n2xn2+n

∴抛物线的顶点坐标为Fn n),

由图可设直线l的解析式为ykx

将点Fn n)代入,得: nkn

解得:k

则当n变化时,顶点在直线yx上;

2)∵由直线l的斜率为知直线lx轴正半轴的夹角为60°

∴∠NOB30°MAOMNBON

MA+NBOM+ONOM+OM+MN)=MN

OMMN

2

3)联立,得:2x2﹣(4n+kx+2n2+nb0

设交点坐标为Px1y1)、Qx2y2),

由韦达定理知x1+x2=x1x2=

PQ

为定值,

则一定有k

代入得3+8b19

解得b2

故直线的解析式为yx+2

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