题目内容
【题目】如图，在矩形
中，已知
，点
是对角线
的中点，点
是
边上的动点，连接
并延长交于
点
，过作
，分别交矩形的边于点
（1）当
四点分别分布在矩形的四条边上（不包括顶点）时，
①求证：四边形是菱形．
②求
的取值范围．
（2）当四边形
的面积为144时，求的长．
【答案】（1）①见解析；②
；（2）
为
或
或2或14
【解析】
（1）①根据题意利用对角线垂直且平分的四边形是菱形判定四边形
是菱形．
②找极限点，当
与
重合时，在
和
中；
可求得DE，进而求出AE；当与
重合时，同理可得：
，即得到AE的取值范围；
（2）分两种情况：
①当
四边分别分布在矩形的两条边上时，当点
在边
上，由题（1）同理可证：四边形
是菱形，且此时菱形的高为12，根据面积为144可求出
，即四边形是正方形，可得到AE=2；同理当G运动到BC上时，AE=14；
②当四点分别分布在矩形的四条边上（不包括顶点）时，如图6．过点
作
，交
分别于点P，Q，得到
，根据相似比设
代入菱形面积公式求出a，再由勾股定理求出PE，即可求出
，同理G运动到靠近C时根据对称性找出
．
解：（1）①证明：
在矩形中，
，
．
又
同理可证：
又
，
四边形是菱形．
②当与重合时，如图2，
在矩形中，
由勾股定理可得：
且
在和中，
，
当与重合时，如图3，同理可得：，
，
当四点分别分布在矩形的四条边上（不包括顶点）时，的取值范围为．
（2）
①当四边分别分布在矩形的两条边上时，当点在边上，如图4，由题（1）同理可证：四边形是菱形，且此时菱形的高为12
，
．
故
四边形是正方形
由于正方形和矩形对称轴为同一条，
，
同理可证：当点在边
上时，如图5，
．
②当四点分别分布在矩形的四条边上（不包括顶点）时，如图6．过点作，交分别于点P，Q
易得．且
，
，
，
设，
，
，
，
当点
在点
左侧时，，
由对称性可得，当点在点右侧时，如图7，；
综上所述：为或或2或14．
