题目内容

“数形结合”是一种极其重要的思想方法．例如，我们可以利用数轴解分式不等式

1

x

＜1（x≠0）．先考虑不等式的临界情况：方程

1

x

=1的解为x=1．如图，数轴上表示0和1的点将数轴“分割”成x＜0、0＜x＜1和x＞1三部分（0和1不算在内），依次考察三部分的数可得：当x＜0和x＞1时，

1

x

＜1成立．理解上述方法后，尝试运用“数形结合”的方法解决下列问题：
（1）分式不等式

1

x

＞1的解集是

0＜x＜1

0＜x＜1

；
（2）求一元二次不等式x²-x＜0的解集；
（3）求绝对值不等式|x+1|＞5的解集．

分析：（1）利用已知中当x＜0和x＞1时，

1

x

＜1成立，即可得出分式不等式

1

x

＞1的解集；
（2）利用方程的解以及数轴得出即可；
（3）利用绝对值的性质和方程的解以及数轴得出即可．

解答：解：（1）由题意可得出：0＜x＜1．
故答案为：0＜x＜1．

（2）解方程x²-x=0，得x=0和x=1，
画数轴得出：

，
∴x²-x＜0的解集为：0＜x＜1；

（3）不等式|x+1|＞5的解为：x=4或x=-6，
画数轴得：

，
∴|x+1|＞5的解集是：x＞4和x＜-6．

点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及利用图象得出不等式的解集，根据数形结合得出是解题关键．

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“数形结合”是一种很重要的数学思想，在我们学习过程中如果能够加以体会和利用，往往会给我们解题带来帮助，如右所示，图（一）～图（四）

就反映了给一个方程配方的过程，
（1）请你根据图示顺序分别用方程表示出来：
图（一）：

=21；
图（二）：

=21；
图（三）：

=21+2²；
图（四）：

=25．
（2）请你运用配方法直接填空：x²-5x+

）²
（3）请你运用配方法解方程：2x²+5x+2=0．

数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常奇妙而简单，观察下表：

（1）图表中A表示的数值是

；
（2）根据你的观察，猜想：

（3）你能猜想下列式子的值吗？
①

数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常奇妙而简单，观察下表：
$数学公式$
$数学公式$ $数学公式$
$数学公式$ $数学公式$
A
（1）图表中A表示的数值是；
（2）根据你的观察，猜想： $数学公式$ =__
（3）你能猜想下列式子的值吗？
① $数学公式$ ；
② $数学公式$ $数学公式$ +A+ $数学公式$ ．

“数形结合”是一种极其重要的思想方法．例如，我们可以利用数轴解分式不等式 $数学公式$ ＜1（x≠0）．先考虑不等式的临界情况：方程 $数学公式$ =1的解为x=1．如图，数轴上表示0和1的点将数轴“分割”成x＜0、0＜x＜1和x＞1三部分（0和1不算在内），依次考察三部分的数可得：当x＜0和x＞1时， $数学公式$ ＜1成立．理解上述方法后，尝试运用“数形结合”的方法解决下列问题：
（1）分式不等式 $数学公式$ ＞1的解集是______；
（2）求一元二次不等式x²-x＜0的解集；
（3）求绝对值不等式|x+1|＞5的解集．