Question

如图，在Rt△ABC中，AF是斜边上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（　　）

• A、

  3	2

• B、

  3

• C、

  2

• D、

  3	3

Answer 1

分析：首先设出AD的长，过D作BC的垂线DE，易知△CDE∽△CAF，可利用x表示出CE的长，由等腰三角形三线合一的性质可得到BC=2CE，即可知BC的表达式，而在Rt△ADB中，利用勾股定理易求得AB的表达式，那么在Rt△ABC中，根据AB、AC、BC的表达式，可利用勾股定理列出关于x的方程，由此求得AD的长．

解答：解：如图，过D作BC边上的高DE．
设AD的长为x，Rt△ADB中，由勾股定理
AB=

1-x2

等腰△DCB中，DE⊥BC，
∴E为BC的中点
又∵AF⊥BC，
∴△CDE∽△CAF
∴CD：CA=CE：CF
即

1

x+1

=CE
∴BC=2CE=

2

x+1

直角△ABC中，由勾股定理可知
AB²+AC²=BC²
即1-x²+（1+x）²=

4

(1+x)2

解得x=

3	2

-1
∴AC=AD+CD=

3	2

-1+1=

3	2

．
故选A．

点评：本题是一道综合性较强的题目，需要同学们把等腰三角形的两条腰相等、两个底角相等、三角形内角和为180度结合起来解答．