Question

【题目】如图①，在△ABC中，为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

（1）如图②，如果AB=AC，，当点D在线段BC的延长线上时，猜想线段CF、BD的关系，并说明理由.

（2）如图③，如果ABAC，是锐角，点D在线段BC上，当时，必有CFBC（点C，F不重合），请先在横线上添加条件，再作证明.

Answer 1

【答案】（1）CF＝BD且CF⊥BD，理由见解析；（2）45，证明见解析.

【解析】

（1）CF与BD关系为互相垂直且相等．首先证明△DAB≌△FAC，然后得出CF＝BD，∠ACF＝45°，∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，即可求得答案；

（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，于是得到CF⊥BD．

解：（1）结论：CF＝BD且CF⊥BD，
理由：∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF，

∵，

∴,
在△BAD与△CAF中，
∵ ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD．
故答案为：CF＝BD且CF⊥BD；

（2）当∠ACB＝45°时，必有CF⊥BC.

理由：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G ，

则∵∠ACB＝45°，
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°，
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC∠DAC＝90°∠DAC，∠FAC＝∠FAD∠DAC＝90°∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠ACG＋∠ACF＝90°
∴CF⊥BC