题目内容

(1)求E点的坐标;
(2)连接PO1、PA.求证:△BCD∽△PO1A;
(3)①以点O2(0,m)为圆心画⊙O2,使得⊙O2与⊙O1相切,当⊙O2经过点C时,求实数m的值;
②在①的情形下,试在坐标轴上找一点O3,以O3为圆心画⊙O3,使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).
分析:(1)运用配方法求出二次函数顶点坐标与图象与y轴的交点坐标,再求出直线CD的解析式,即可得出E点的坐标;
(2)分别求出△BCD与△PO1A三边的比值得出两三角形相似;
(3)根据当⊙O2与⊙O1外切时O1O2=r1+r2,以及当⊙O2与⊙O1内切时O1O2=|r1-r2|,分别求出符合要求的答案即可.
(2)分别求出△BCD与△PO1A三边的比值得出两三角形相似;
(3)根据当⊙O2与⊙O1外切时O1O2=r1+r2,以及当⊙O2与⊙O1内切时O1O2=|r1-r2|,分别求出符合要求的答案即可.
解答:解:(1)y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8,
∴C(0,6),D(1,8),
设直线CD:y=kx+b(k≠0)将C、D代入得
,
解得
,
∴CD直线解析式:y=2x+6,当y=0,x=-3,
∴E(-3,0);
(2)令y=0得-2x2+4x+6=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
又∵O(0,0)、E(-3,0),
∴以OE为直径的圆心O1(-
,0)、半径r1=
.
设P(t,2t+6),
由PO1=
得
=
,
解得:t 1=-
,t 2=-3(舍),
∴P(-
,
),
∴PA=
,AO1=
,
又DC=
,CB=3
,DB=2
,
∴
=
=
=2
,
∴△BCD∽△PO1A;
(3)①O1(-
,0),r1=
,O2(0,m)
据题意,显然点O2在点C下方r2=O2C=6-m,
当⊙O2与⊙O1外切时O1O2=r1+r2,
代入得
=
+(6-m),
解得:m1=
,m2=2(舍),
当⊙O2与⊙O1内切时O1O2=|r1-r2|,
代入得
=|
-(6-m)|,
解得:m1=2,m2=
(舍),
∴m1=
,m2=2,
②当⊙O3与⊙O2圆心重合时O3(0,
),O3(0,2),
当⊙O1与⊙O2外切时,O3(
,0),O3(0,
),O3(
,0),O3(0,-
);
当⊙O1与⊙O2内切时O3(-
,0).
∴C(0,6),D(1,8),
设直线CD:y=kx+b(k≠0)将C、D代入得
|
解得
|
∴CD直线解析式:y=2x+6,当y=0,x=-3,
∴E(-3,0);
(2)令y=0得-2x2+4x+6=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
又∵O(0,0)、E(-3,0),
∴以OE为直径的圆心O1(-
3 |
2 |
3 |
2 |
设P(t,2t+6),
由PO1=
3 |
2 |
(t+
|
3 |
2 |
解得:t 1=-
12 |
5 |
∴P(-
12 |
5 |
6 |
5 |
∴PA=
| ||
5 |
1 |
2 |
又DC=
5 |
5 |
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∴
DC |
AO1 |
CB |
PO1 |
DB |
PA |
5 |
∴△BCD∽△PO1A;
(3)①O1(-
3 |
2 |
3 |
2 |
据题意,显然点O2在点C下方r2=O2C=6-m,
当⊙O2与⊙O1外切时O1O2=r1+r2,
代入得
(
|
3 |
2 |
解得:m1=
18 |
5 |
当⊙O2与⊙O1内切时O1O2=|r1-r2|,
代入得
(
|
3 |
2 |
解得:m1=2,m2=
18 |
5 |
∴m1=
18 |
5 |

②当⊙O3与⊙O2圆心重合时O3(0,
18 |
5 |
当⊙O1与⊙O2外切时,O3(
3 |
2 |
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21 |
2 |
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7 |
当⊙O1与⊙O2内切时O3(-
45 |
14 |
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定,还用到了分类讨论的数学思想,难点在于考虑问题要全面,做到不重不漏.

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