题目内容
已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别为A、B，连心线O1O2分别交⊙O1于D、交AB于C，连接AD、AP、BP．求证：（1）AD∥BP；（2）CP•CO1=CD•CO2；（3）| AD |
| AP |
| PC |
| BC |
分析：（1）根据圆的切线的性质即可证得∠APB=∠DAP，即可证得两直线平行；
（2）利用平行线分线段成比例定理即可证明；
（3）首先证明△DAP∽△APB，和△CPA∽△CBP，即可求证．
（2）利用平行线分线段成比例定理即可证明；
（3）首先证明△DAP∽△APB，和△CPA∽△CBP，即可求证．
解答：
证明：（1）过P作两圆的内公切线PE交AB于E，
∵EA、EP为⊙O1的切线，
∴EA=EP，
同理：EB=EP，
∴∠APB=90°，
∵PD是⊙O1的直径，
∴∠DAP=90°，
∴∠APB=∠DAP，
∴AD∥BP；
（2）由（1）知：AD∥BP?
=
，
连接O1A、O2B，AB分别切两圆于A、B，
∴
?O1A∥O2B?
=
，
∴
=
，
∴CP•CO1=CD•CO2；
（3）由（1）知：∠DAP=∠APB，
又AB是⊙O1的切线，AP是⊙O1的弦，
∴∠D=∠PAB，
∴△DAP∽△APB，
∴
=
，
又∵
?
=△CPA∽△CBP?
=
，
∴
=
．
证明：（1）过P作两圆的内公切线PE交AB于E，∵EA、EP为⊙O1的切线，
∴EA=EP，
同理：EB=EP，
∴∠APB=90°，
∵PD是⊙O1的直径，
∴∠DAP=90°，
∴∠APB=∠DAP，
∴AD∥BP；
（2）由（1）知：AD∥BP?
| CP |
| CD |
| CB |
| CA |
连接O1A、O2B，AB分别切两圆于A、B，
∴
|
| CO2 |
| CO1 |
| CB |
| CA |
∴
| CP |
| CD |
| CO2 |
| CO1 |
∴CP•CO1=CD•CO2；
（3）由（1）知：∠DAP=∠APB，
又AB是⊙O1的切线，AP是⊙O1的弦，
∴∠D=∠PAB，
∴△DAP∽△APB，
∴
| AD |
| AP |
| AP |
| BP |
又∵
|
|
| AP |
| BP |
| PC |
| BC |
∴
| AD |
| AP |
| PC |
| BC |
点评：本题主要考查了切线的性质，以及三角形相似的判定，线段的比相等的问题一般可以转化为证明三角形相似的问题解决．
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