Question

已知；如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点A，⊙O₂的直径AC交⊙O₁于点B，⊙O₂的弦FC切⊙O₁于点D，AD的延长线交⊙O₂于点E，连接AF、EF、BD．
（1）求证：AC•AF=AD•AE；
（2）若O₁O₂=9，cos∠BAD=

2

3

，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接O₁D，由FC是⊙O₁的切线，AC是⊙O₂的直径，即可证得AF∥O₁D，又由O₁A=O₁D，易证得∠FAD=∠DAC，然后由同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，即可证得△AEF∽△ACD，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AC•AF=AD•AE；
（2）首先连接EC，由AB是⊙O₁的直径，AC是⊙O₂的直径，可得

AD

AB

=

AE

AC

=

2

3

，又由⊙O₁与⊙O₂内切，O₁O₂=9，可得AC-AB=18，然后由DE=AE-AD=

2

3

AC-

2

3

AD求得答案．

解答：（1）证明：连接O₁D，
∵FC是⊙O₁的切线，
∴O₁D⊥FC，
∴AC是⊙O₂的直径，
∴∠AFC=90°，
∴AF⊥FC，
∴AF∥O₁D，
∴∠FAD=∠AD0₁，
∵O₁A=O₁D，
∴∠O₁AD=O₁DA，
∴∠FAD=∠DAC，
∵∠E=∠C，
∴△AEF∽△ACD，
∴

AE

AC

=

AF

AD

，
∴AC•AF=AD•AE；

（2）解：连接EC，
∵AB是⊙O₁的直径，AC是⊙O₂的直径，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵cos∠BAD=

2

3

，
∴

AD

AB

=

AE

AC

=

2

3

，
∴AD=

2

3

AB，AE=

2

3

AC，
∵⊙O₁与⊙O₂内切，O₁O₂=9，
∴0₂A-O₁A=9，
∴AC-AB=18，
∴DE=AE-AD=

2

3

AC-

2

3

AD=

2

3

（AC-AD）=

2

3

×18=12．

点评：此题考查了圆的切线的性质，两圆内切的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用．