题目内容
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=2AB=2AD=4.以AB为直径作⊙O,点P在梯形内的半圆弧上运动,则△CPD的最小面积是______.
过点O作OE⊥CD交CD的延长线于E,OE交⊙O 于P,则△PCD就是所求的三角形,连接OC、OD,过点D作DF⊥BC于点F,
∵直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,
∴∠A=∠B=∠BFD=90°,
∴四边形ABDF是矩形,
∴BF=AD,DF=AB,
∵BC=2AB=2AD=4,
∴AD=AB=2,
∵以AB为直径作⊙O,
∴OA=OB=1,
∴S梯形ABCD=
(AD+BC)•AB=
×(2+4)×2=6,S△OAD=
OA•AD=
×1×2=1,S△OBC=
OB•BD=
×1×4=2,
∴S△ODC=S梯形ABCD-S△OAD-S△OBC=6-1-2=3,
在Rt△DFC中,CF=BC-BF=4-2=2,DF=AB=2,
∴CD=
=2
,
∵S△OCD=
CD•OE=3,
∴OE=
,
∴PE=OE-OP=
-1,
∴S△CPD=
CD•PE=
×2
×(
-1)=3-
.
故答案为:3-
.
∵直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,
∴∠A=∠B=∠BFD=90°,
∴四边形ABDF是矩形,
∴BF=AD,DF=AB,
∵BC=2AB=2AD=4,
∴AD=AB=2,
∵以AB为直径作⊙O,
∴OA=OB=1,
∴S梯形ABCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S△ODC=S梯形ABCD-S△OAD-S△OBC=6-1-2=3,
在Rt△DFC中,CF=BC-BF=4-2=2,DF=AB=2,
∴CD=
DF2+CF2 |
2 |
∵S△OCD=
1 |
2 |
∴OE=
3 |
2 |
2 |
∴PE=OE-OP=
3 |
2 |
2 |
∴S△CPD=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
2 |
2 |
2 |
故答案为:3-
2 |
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