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方程
的根为_______.
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【答案】
0或1
【解析】方程可变形为x(x-1)=0,解得x=0或x=1
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我们可以用解一元二次方程的方法对二次三项式进行因式分解.
例如,将二次三项式x
2
+2x-8因式分解.可以这样思考:由x
2
+2x-8=0,得方程的根为x
1
=-4,x
1
=2,
所以x
2
+2x-8=(x+4)(x-2).又例如,将二次三项式2x
2
+5x-1因式分解.可以这样思考:由2x
2
+5x-1=0,得方程的根为
x
1
=-
5
4
-
33
4
,
x
1
=-
5
4
+
33
4
,所以
2
x
2
+5x-1=2(x+
5+
33
4
)(x+
5-
33
4
)
.一般地,
我们有ax
2
+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
),其中a≠0,x
1
,x
2
是方程的根.
请你根据上述方法,对下面两式进行因式分解:
(1)x
2
-5x+6;
(2)3x
2
-4x-1.
将一元二次方程x
2
-2x-2=0用配方法化成(x+a)
2
=b的形式为
(x-1)
2
=3
(x-1)
2
=3
,此方程的根为
x
1
=1+
3
,x
2
=1-
3
x
1
=1+
3
,x
2
=1-
3
.
方程(x-2)
2
-25x
2
=0用
因式分解
因式分解
法较简便,方程的根为x
1
=
1
3
1
3
,x
2
=
-
1
2
-
1
2
.
【阅读理解】问题:已知方程x
2
+2x-3=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=
y
2
.
把x=
y
2
代入已知方程,得(
y
2
)
2
+2×
y
2
-3=0.
化简得y
2
+4y-12=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
【解决问题】请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x
2
+2x-3=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为
y
2
-2y-3=0
y
2
-2y-3=0
;
(2)已知关于x的方程x
2
+nx+m=0有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
若方程3x
2
+4x=7中,则b
2
-4ac=
,方程的根为
.
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