题目内容
【题目】点为正方形
的边
上任意一点,在正方形内部做等腰直角
.
(1)如图1,若,则
_________(请直接写出答案)
(2)作关于
的对称点
,连接
交
于点
.
①补全图形1;
②证明:四边形ECHF为平行四边形.
(3)在(2)的条件下,连接,请直接写出
和
之间的数量关系.
【答案】(1);(2)①见解析;②见解析;(3)
【解析】
(1)在中,利用勾股定理求得
,再在是等腰直角三角形AEF中利用勾股定理即可求解;
(2)①按照要求补全图形即可;
②作MN⊥AB,交DC于N,交AB于M,证得△AMF≌△FNE,根据全等三角形的性质证明点F在正方形ABCD的线BD上,设法证明FH=EC,FH∥EC,从而证明结论;
(3)根据②的过程,利用勾股定理证得 ,
,从而得到
.
(1)∵四边形ABCD是正方形,AB=6,EC=2,
∴AB=AD=DC=6,∠ADE=90,
在中,AD= 6,DE=DC-EC=6-2=4,
∴,
∵AEF是等腰直角三角形,且∠AFE=90
,
∴AF=EF,
∵,即
,
∴;
(2)①补全图形如图所示:
②如图,过点F作MN⊥AB,交DC于N,交AB于M,连接BD,
∵AB∥CD,MN⊥AB,∠AFE=90,
∴MN⊥CD,
∴∠AFM+∠EFN=90°,∠AFM +∠FAM=90°,
∴∠EFN =∠FAM,
在△AMF和△FNE中,
,
∴△AMF≌△FNE(AAS),
∴AM=FN,MF=EN,
∵四边形ABCD是正方形,且MN⊥AB,
∴∠BAD=∠ADC=∠AMN=90°,
∴四边形ADNM是矩形,
∴AM=DN,
∴FN=DN,
又MN⊥CD,
∴∠FDN=45°,
∴点F在正方形ABCD的线BD上,
又F、H关于BC对称,
∴MF=FP=PH=EN,FP⊥BC,
∴四边形BPFM是正方形,四边形PCNF是矩形,
∴FP=NC,PC=FN,
∴FH=EC,
∵F、H关于BC对称,
∴FH⊥BC,
∵DC⊥BC,
∴FH∥EC,
∴四边形ECHF为平行四边形;
(3)由②得MF=FP,
∴,
∵AM=DN=FN,
∴,
∴.
