题目内容

【题目】为正方形的边上任意一点,在正方形内部做等腰直角

1)如图1,若,则_________(请直接写出答案)

2)作关于的对称点,连接于点

①补全图形1

②证明:四边形ECHF为平行四边形.

3)在(2)的条件下,连接,请直接写出之间的数量关系.

【答案】1;(2)①见解析;②见解析;(3)

【解析】

(1)中,利用勾股定理求得,再在是等腰直角三角形AEF中利用勾股定理即可求解;

(2)①按照要求补全图形即可;

②作MNAB,交DCN,交ABM,证得△AMF≌△FNE,根据全等三角形的性质证明点F在正方形ABCD的线BD上,设法证明FH=ECFHEC,从而证明结论;

(3)根据②的过程,利用勾股定理证得 ,从而得到

(1)∵四边形ABCD是正方形,AB=6EC=2
AB=AD=DC=6,∠ADE=90

中,AD= 6DE=DC-EC=6-2=4

AEF是等腰直角三角形,且∠AFE=90

AF=EF

,即

(2)①补全图形如图所示:

②如图,过点FMNAB,交DCN,交ABM,连接BD

ABCDMNAB,∠AFE=90
MNCD
∴∠AFM+EFN=90°,∠AFM +FAM=90°
∴∠EFN =FAM

在△AMF和△FNE中,


∴△AMF≌△FNE(AAS)
AM=FNMF=EN

∵四边形ABCD是正方形,且MNAB

∴∠BAD=ADC=AMN=90°

∴四边形ADNM是矩形,

AM=DN

FN=DN

MNCD

∴∠FDN=45°

∴点F在正方形ABCD的线BD上,

FH关于BC对称,

MF=FP=PH=ENFPBC

∴四边形BPFM是正方形,四边形PCNF是矩形,

FP=NCPC=FN

FH=EC

FH关于BC对称,

FHBC

DCBC

FHEC

∴四边形ECHF为平行四边形;

(3)由②得MF=FP

AM=DN=FN

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