题目内容
【题目】已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于AB两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的表达式及它的对称轴方程;
(2)求点C的坐标,并求线段BC所在直线的函数表达式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为 对称轴方程为:;(2)点C的坐标为(0,4),直线BC的解析式为;(3)存在点Q,使为等腰三角形,点Q的坐标为:.
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线解析式,利用配方法或公式法求出对称轴方程;
在抛物线解析式中,令,可求出点C的坐标,令,可求出点B的坐标,再利用待定系数法求出直线BC的解析式;
本问为存在型问题.若为等腰三角形,则有三种可能的情况,需要分类讨论,逐一计算.
试题解析:
∵抛物线的图象经过点A(-2,0),,解得
∴抛物线解析式为 又∵∴对称轴方程为:
(2)在中,令,得,∴C(0,4);令,即,整理得解得:∴A(-2,0),B(8,0).设直线BC的解析式为,把B(8,0),C(0,4)的坐标分别代入解析式,得:,解得,直线BC的解析式为
(3)∵抛物线的对称轴方程为:可设点Q(3,t),则可求得:①当时,有解得∴②当时,有此方程无实数根,∴此时不能构成等腰三角形;当时,有解得:∴点Q坐标为:.综上所述,存在点Q,使为等腰三角形,点Q的坐标为:.
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