Question

在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x²在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

(1)如图1，当点A的横坐标为　　　　时，矩形AOBC是正方形；
(2)如图2，当点A的横坐标为时，
①求点B的坐标；
②将抛物线y＝x²作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x²，试判断抛物线y＝－x²经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

Answer 1

解：(1) －1。
(2)　①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

当x＝－时，y＝(－)²＝，
即OE＝，AE＝。
∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，21世
∠AOE＋∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝∠BOF。
又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB。
∴。
设OF＝t，则BF＝2t，∴t²＝2t，解得：t₁＝0(舍去)，t₂＝2。
∴点B(2，4)。
②过点C作CG⊥BF于点G，
∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠EOA＝∠FBO，
∴∠EAO＝∠CBG。
在△AEO和△BGC中，∠AEO＝∠G=90⁰，∠EAO＝∠CBG,AO=BC，
∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG＝OE＝，BG＝AE＝。
∴x_c＝2－，y_c＝4＋。∴点C()。
设过A(－，)、B(2，4)两点的抛物线解析式为y＝－x²＋bx＋c，由题意得，
，得。
∴经过A、B两点的抛物线解析式为y＝－x²＋3x＋2。
∵当x＝时，y＝－()²＋3×＋2＝，∴点C也在此抛物线上。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为y＝－x²＋3x＋2＝－(x－)²＋。
平移方案：先将抛物线y＝－x²向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线
y＝－(x－)²＋。

解析