题目内容
【题目】【问题背景】
如图①所示，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
【类比研究】
如图②所示，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）连结AE，若AF=DF，AB=7，求△DEF的边长．
【答案】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由见解析；（2）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）
【解析】分析：（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；
（3）先判断出AF=FD=EF，进而得出∠FAE=∠FEA=30°，即：∠DEA=90°，再用勾股定理得出AE，即可得出结论．
详解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC-∠CBE，∠BCE=∠ACB-∠ACF，∠CBE=∠ACF，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
同理：△ABD≌CAF，
即：△ABD≌△BCE≌△CAF
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）∵△DEF是正三角形，
∴∠DFE=∠FDE=60°，
又AF=FD，
∴AF=FD=EF，
∴∠FAE=∠FEA=30°，
∴∠DEA=90°，
设DE=x，则AD=BE=2x，
在Rt△ADE中，AE2=AD2-DE2=3x2，
在Rt△ABE中，AB=7，AB2=BE2+AE2，
即，49=4x2+3x2，
∴x=-（舍）或x=，
∴△DEF的边长为．
