Question

【题目】已知抛物线C1：y＝ax2经过(－1，1)

(1) C1的解析式为___________，顶点坐标为___________，对称轴为___________

(2) 如图1，直线l：y＝kx＋2k－2经过定点P，过P的另一直线交抛物线C1于A、B两点．当PA＝AB时，求A点坐标

(3) 如图2，将C1向下平移h（h＞0）个单位至C2，M(－2，b)在C2图象上，过M作设MD、ME分别交抛物线于D、E．若△MDE的内心在直线y＝b上，求证：直线DE一定与过原点的某条定直线平行

Answer 1

【答案】 y＝x2 (0，0) y轴

【解析】试题分析：（1）把点的坐标代入抛物线解析式可求得a的值，则可求得抛物线解析式，可求得其顶点坐标和对称轴；
（2）由直线l解析式可求得P点坐标，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由PA=AB和联立直线和抛物线解析式，可求得A的坐标；
（3）过点M作直线l∥x轴，过点D作DF⊥l于F，过点E作EG⊥l于G，设D（x1，x12-h）、E（x2，x22-h），由相似三角形的性质可求得x1+x2=4，设直线DE解析式为y=kx+b，把D、E坐标代入可求得k=x1+x2=4，可证得结论．

试题解析：

（1）∵抛物线C1：y=ax2经过（-1，1），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=x2，
∴顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，
故答案为：y=x2；（0，0）；对称轴为y轴； y＝x2，(0，0)，y轴;

(2) 当x＝－2时，y＝－2

∴P(－2，－2)

设A(x1，y1)、B(x2，y2)

∵PA＝PB

∴－2＋x2＝2x1 ①

联立，整理得x2－kx－2k＋2＝0

∴x1＋x2＝k ②，x1x2＝－2k＋2 ③

由①得， ，代入②③得，

∴A(， )、(， )

(3) 过点M作直线l∥x轴，过点D作DF⊥l于F，过点E作EG⊥l于G

设D(x1，x12－h)、E(x2，x22－h)

∵△MDF∽△MEG

∴，得x1＋x2＝4

设直线DE的解析式为y＝kx＋b

∴，得k＝x1＋x2＝4

∴直线DE一定与过原点的直线y＝4x平行.