题目内容
【题目】按要求作图
(1)已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)
(2)已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC与∠C之间的关系.
【答案】
(1)解:如图(共有2种不同的分割法).
(2)
解:设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于D.在△DBC中, ①若∠C是顶角,如图1,
则∠CBD=∠CDB=90°﹣ x,∠A=180°﹣x﹣y.
而∠ADB>90°,此时只能有∠A=∠ABD,即180°﹣x﹣y=y﹣(90°﹣ x)
即3x+4y=540°,即∠ABC=135°﹣ ∠C;
②若∠C是底角,
第一种情况:如图2,
当DB=DC时,则∠DBC=x,△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y﹣x.
由AB=AD,得2x=y﹣x,此时有y=3x,即∠ABC=3∠C.
由AB=BD,得180°﹣x﹣y=2x,此时3x+y=180°,即∠ABC=180°﹣3∠C.
由AD=BD,得180°﹣x﹣y=y﹣x,此时y=90°,即∠ABC=90°,∠C为小于45°的任意锐角.
第二种情况,如图3,
当BD=BC时,∠BDC=x,∠ADB=180°﹣x>90°,此时只能有AD=BD,
从而∠A=∠ABD= ∠C<∠C,这与题设∠C是最小角矛盾.
∴当∠C是底角时,BD=BC不成立.
综上,∠ABC与∠C之间的关系是:∠ABC=135°﹣ ∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意角
【解析】(1)已知角度,要分割成两个等腰三角形,可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理,先计算出可能的角度,或者先从草图中确认可能的情况,及角度,然后画上.(2)在(1)的基础上,由“特殊”到“一般”,需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程,可得出角与角之间的关系.
