Question

【题目】如图甲，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式和直线BC的表达式．

（2）如图乙，点P为在第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D．

①在点P运动过程中，四边形ACPB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

②是否存在点P使得以点O，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为：，直线BC的表达式为：y＝x﹣1；（2）①存在，最大值为2；②（，）或（1，﹣1）或（，﹣）．

【解析】

(1) 设二次函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，即：﹣2a＝﹣1，即可求解；用待定系数法即可求出直线BC的表达式．

(2) ①S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB，即可求解；

②分CD＝OC、CD＝OD、OC＝OD三种情况分别求解即可．

解：（1）二次函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，

即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：，点C（0，﹣1），

则直线BC的表达式为：y＝kx﹣1，

将点B的坐标代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，

故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；

（2）①设点P（x， x2﹣x﹣1），则点D（x，x﹣1），

S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB

＝×3×1+×2（x﹣1﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+，

∵﹣0，故S有最大值，当x＝1时，S最大值为2；

②设点D坐标为（m，m﹣1），

则CD2＝m2+m2，OC2＝1，DO2＝m2+（m﹣1）2＝m2﹣m+1，

当CD＝OC时，m2+m2＝1，解得：m＝，

同理可得：

当CD＝OD时，m＝1，

当OC＝OD时，m＝，

则点P坐标为（，）或（1，﹣1）或（，﹣）．