题目内容
【题目】如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与BD相交于点F,若BC=4,∠CBD=30°,则AE的长为( )
A.B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
如图,作EH⊥AB于H,利用∠CBD的余弦可求出BD的长,利用∠ABD的余弦可求出AB的长,利用∠EBH的正弦和余弦可求出BH、HE的长,即可求出AH的长,利用勾股定理求出AE的长即可.
如图,作EH⊥AB于H,
在Rt△BDC中,BC=4,∠CBD=30°,
∴BD=BC·cos30°=2,
∵BD平分∠ABC,∠CBD=30°,
∴∠ABD=30°,∠EBH=60°,
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,BD=2,
∴AB=BD·cos30°=3,
∵点E为BC中点,
∴BE=EC=2,
在Rt△BEH中,BH=BE·cos∠EBH=1,HE=EH·sin∠EBH=,
∴AH=AB-BH=2,
在Rt△AEH中,AE==
,
故选:D.

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