Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O₁与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，已知A（-1，0），O₁（1，0）
（1）求出C点的坐标；
（2）过点C作CD∥AB交⊙O₁于D，若过点C的直线恰好平分四边形ABCD的面积，求出该直线的解析式；
（3）如图，已知M（1，-2

3

），经过A、M两点有一动圆⊙O₂，过O₂作O₂E⊥O₁M于E，若经过点A有一条直线y=kx+b（k＞0）交⊙O₂于F，使AF=2O₂E，求出k、b的值．

Answer 1

分析：（1）易得△O₁AC为等边三角形，可求出OC的长．
（2）利用等腰梯形可化为一个矩形和两个直角三角形，只要平分矩形的面积即可，易找到平分线，用待定系数法求其解析式．
（3）从AF=2O₂E找到突破口，过M点作直径和弦，通过坐标的特点证出∠FAO=60°，从而求出AF的解析式．

解答：解：（1）∵A（-1，0），O₁（1，0），
∴OA=OO₁又O₁A=O₁C，（1分）
∴易知△O₁AC为等边三角形，（2分）
∴易求C点的坐标为（0，

3

）．（4分）

（2）解法一：连接AD；
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD又AC不平行BD，
∴四边形ABCD为等腰梯形，（5分）
过D作DH⊥AB于H；
∴△AOC≌△BDH，四边形COHD为矩形，（6分）
∴CH必平分四边形ABCD的面积，（7分）
易求CH的解析式：y=-

3

2

x+

3

；（8分）
解法二：设直线CH平分四边形ABCD的面积，并设H（x，0），连接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD=2，
∵S_△ACH=S_梯形CDBH，
∴

1

2

3

(x+1)=

1

2

3

[2+(3-x)]，
∴x+1=5-x，
∴x=2，由C（0，

3

）和H（2，0），
易求CH的解析式：y=-

3

2

x+

3

．

（3）证法一：分别延长MO₁，MO₂交⊙O₂于P，N，连接PN；
∴PN=2O₂E，（9分）
连接MA，MF，AN；
∵A（-1，0），M（1，-2

3

），
∴∠MAO₁=60°，∠AMO₁=30°，
∴∠NAO₁=30°，
∵AF=2O₂E=PN，
∴∠FMA=∠PMN，
∴∠PMN+∠PMF=∠FMA+∠PMF=∠AMO₁=30°，
∴∠FMN=∠PMA=∠FAN=30°，（10分）
∴∠FAO₁=60°，（11分）
∴易求AF的解析式为y=

3

x+

3

，
∴k=

3

，b=

3

．（12分）

点评：求直线的解析式必须找到它上面两个点的坐标．记住垂径定理及其推论．同时要充分利用特殊角在几何证明中的作用．