Question

【题目】如图，抛物线与坐标轴交于点，点和点，连接．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，已知点在线段的上方（不包括点和点），过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值；

（3）该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，有最大值，最大值为；（3）存在，点的坐标为、、或．

【解析】

（1）把，点和点代入抛物线解析式组成三元一次方程组，解方程组，即可得抛物线的系数a、b、c的值，代入抛物线解析式即可．

（2）因为点P在抛物线上，所以设，而的直线方程为，所以，所以，利用二次函数性质求得PE的最大值为；

（3）过点作于点，过点作轴于点，由题意求得，再根据相似三角形的性质可得，，进而证出是等腰直角三角，从而求得，设，①当或时，点在点左侧或在之间，横纵坐标均为负数，，，所以，列方程解即可得P的坐标；②当或时，点在之间或在点右侧，横纵坐标异号，列方程即可得P点的坐标；

（1）∵抛物线与轴交于点，点，与y轴交于点

∴

∴

∴抛物线解析式为

（2）设，的直线方程为

∴，∴

当时，有最大值，最大值为

（3）如图1，过点作于点，过点作轴于点

∴

∵

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形∴

∴

∴

∴

设

①当或时，点在点左侧或在之间，横纵坐标均为负数

∴，

∴

解得：，,

或

②当或时，点在之间或在点右侧，横纵坐标异号

∴

解得：，

∴或

综上所述，点的坐标为、、或．