Question

【题目】探究与发现:如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题:

(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由;

(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题:

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若，则________;

②如图3，DC平分，EC平分，若，求的度数;

③如图4，的10 等分线相交于点，若，求∠A的度数.

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由见解析；（2）①∠ABX+∠ACX=50°；②85°；③63°.

【解析】

（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据三角形外角的性质，即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C;

（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根据∠A=40°，∠BXC=90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．

②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．

③根据∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C=70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD=133°-x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．

解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，

根据三角形外角的性质，可得

∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C．

（2）①由（1），可得

∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°．

②由（1），可得

∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，

∴ （∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，

∴∠DCE= （∠ADB+∠AEB）+∠DAE

=45°+40°

=85°．

③∠BG1 C= （∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1 C=70°，

∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD=133°-x°

∴ （133-x）+x=70，

∴13.3- x+x=70，

解得x=63，即∠A的度数为63°．