Question

如图，⊙O的直径AB=8，C为圆周上一点，AC=4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．

小题1:求∠AEC的度数
小题2:求证：四边形OBEC是菱形

Answer 1

小题1:解：在△AOC中，AC=4，
∵ AO＝OC＝4，
∴ △AOC是等边三角形．………1分
∴ ∠AOC＝60°，
∴∠AEC＝30°．…………………3分
小题2:证明：∵OC⊥l，BD⊥l．
∴OC∥BD．……………………4分
∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．
∵ AB为⊙O的直径，
∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． …………………………7分
∴∠EAB＝∠AEC．
∴ 四边形OBEC为平行四边形． …………………………………6分
又∵ OB＝OC＝4． 
∴ 四边形OBEC是菱形． …………………………………………7 分

（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC=60°，根据圆周角定理得到∠AEC=30°；
（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，则∠EAB=30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=OC，即可判断四边形OBEC是菱形