题目内容
【题目】如图, 为线段
上一动点,分别过点
、
作
,
,连接
、
,已知
,
,
,设
.
(1)用含的代数式表示
的长;
(2)请问点在什么位置时,
的值最小,求出这个最小值;
(3)根据(2)中的规律和结论,构图求出代数式的最小值.
【答案】(1)用含x的代数式表示的长
(2)当A、C、E三点共线时取最小值,最小值为10;
(3)代数式最小值为
【解析】试题分析:
试题分析:(1)由于△ABC和△CDE都是直角三角形,故AC,CE可由勾股定理求得;
(2)若点C不在AE的连线上,根据三角形中任意两边之和>第三边知,AC+CE>AE,故当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小;
(3)由(1)(2)的结果可作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C,则AE的长即为代数式 +
的最小值,然后构造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值.
试题解析:(1)由勾股定理知
∴
(2)当、
、
三点共线时
取最小值,如下图
∴在和
中
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
(3)根据(2)中规律可以构造出如图所示
由(2)中方法可得:
∴
∴
∴
∴
∴代数式最小值为
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