题目内容
【题目】如图,已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△PBQ,旋转角为α,且45°<α<90°.
(1)连接AP,CQ,则= ;
(2)若QD⊥BC,垂足为点D,∠BQD=15°,QD与PB交于点E,∠BEQ的平分线EF交AB的延长线于点F.
①求旋转角α的大小;
②求∠F的度数;
③求证:EQ+EB=EF.
【答案】(1);(2)①75°;②15°;③证明见解析
【解析】
(1)根据题意利用相似三角形的判定与性质通过证明△ABP∽△CBQ,可得=
;
(2)①根据题意由直角三角形的性质可求∠CBQ=75°,即可求解;
②根据题意直接由三角形的外角性质进行分析即可求解;
③由题意在EF上截取EH=EB,连接BH,由“AAS”可证△BHF≌△BEQ,可得EQ=HF,进而即可得出结论.
解:(1)∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴AB=BC,∠ABC=45°=∠BAC
∵将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△PBQ,
∴∠ABC=∠PBQ=45°,AB=BP,BC=BQ,
∴∠ABP=∠CBQ,,
∴△ABP∽△CBQ,
∴=
,
故答案为:;
(2)①∵QD⊥BC,
∴∠QDB=90°,且∠BQD=15°,
∴∠CBQ=75°,
∴旋转角α为75°;
②∵∠DBE=∠CBQ﹣∠PBQ=75°﹣45°=30°,
∴∠DEB=60°,∠ABP=75°,
∴∠BEQ=120°,
∵EF平分∠BEQ,
∴∠BEF=60°,
∵∠ABP=∠F+∠BEF,
∴∠F=75°﹣60°=15°;
③如图,在EF上截取EH=EB,连接BH,
∵EB=EH,∠BEF=60°,
∴△BEH是等边三角形,
∴BE=BH=EH,∠BHE=60°,
∴∠BHF=∠BEQ=120°,且∠F=∠BQD=15°,BE=BH,
∴△BHF≌△BEQ(AAS)
∴EQ=HF,
∴EQ+EB=HF+EH=EF.
