题目内容

【题目】如图,已知△ABC中,ACBC,∠ACB90°,将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△PBQ,旋转角为α,且45°α90°

1)连接APCQ,则   

2)若QDBC,垂足为点D,∠BQD15°QDPB交于点E,∠BEQ的平分线EFAB的延长线于点F

①求旋转角α的大小;

②求∠F的度数;

③求证:EQ+EBEF

【答案】(1);(2)①75°;②15°;③证明见解析

【解析】

1)根据题意利用相似三角形的判定与性质通过证明△ABP∽△CBQ,可得

2)①根据题意由直角三角形的性质可求∠CBQ=75°,即可求解;

②根据题意直接由三角形的外角性质进行分析即可求解;

③由题意在EF上截取EH=EB,连接BH,由“AAS”可证△BHF≌△BEQ,可得EQ=HF,进而即可得出结论.

解:(1∵ACBC∠ACB90°

∴ABBC∠ABC45°∠BAC

△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△PBQ

∴∠ABC∠PBQ45°ABBPBCBQ

∴∠ABP∠CBQ

∴△ABP∽△CBQ

故答案为:

2①∵QD⊥BC

∴∠QDB90°,且∠BQD15°

∴∠CBQ75°

旋转角α75°

②∵∠DBE∠CBQ∠PBQ75°45°30°

∴∠DEB60°∠ABP75°

∴∠BEQ120°

∵EF平分∠BEQ

∴∠BEF60°

∵∠ABP∠F+∠BEF

∴∠F75°60°15°

如图,在EF上截取EHEB,连接BH

∵EBEH∠BEF60°

∴△BEH是等边三角形,

∴BEBHEH∠BHE60°

∴∠BHF∠BEQ120°,且∠F∠BQD15°BEBH

∴△BHF≌△BEQAAS

∴EQHF

∴EQ+EBHF+EHEF

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