Question

把下列各式分解因式：
（1）4x³-31x+15；
（2）2a²b²+2a²c²+2b²c²-a⁴-b⁴-c⁴；
（3）x⁵+x+1；
（4）x³+5x²+3x-9；
（5）2a⁴-a³-6a²-a+2．

Answer 1

解：（1）4x³-31x+15=4x³-x-30x+15=x（2x+1）（2x-1）-15（2x-1）=（2x-1）（2x²+x-15）=（2x-1）（2x-5）（x+3）；
（2）2a²b²+2a²c²+2b²c²-a⁴-b⁴-c⁴=4a²b²-（a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²-2a²c²-2b²c²）=（2ab）²-（a²+b²-c²）²=（2ab+a²+b²-c²）（2ab-a²-b²+c²）=（a+b+c）（a+b-c）（c+a-b）（c-a+b）；
（3）x⁵+x+1=x⁵-x²+x²+x+1=x²（x³-1）+（x²+x+1）=x²（x-1）（x²+x+1）+（x²+x+1）=（x²+x+1）（x³-x²+1）；
（4）x³+5x²+3x-9=（x³-x²）+（6x²-6x）+（9x-9）=x²（x-1）+6x（x-1）+9（x-1）=（x-1）（x+3）²；
（5）2a⁴-a³-6a²-a+2=a³（2a-1）-（2a-1）（3a+2）=（2a-1）（a³-3a-2）=（2a-1）（a³+a²-a²-a-2a-2）=（2a-1）[a²（a+1）-a（a+1）-2（a+1）]=（2a-1）（a+1）（a2-a-2）=（a+1）²（a-2）（2a-1）．
分析：（1）需把-31x拆项为-x-30x，再分组分解；
（2）把2a²b²拆项成4a²b²-2a²b²，再按公式法因式分解；
（3）把x⁵+x+1添项为x⁵-x²+x²+x+1，再分组以及公式法因式分解；
（4）把x³+5x²+3x-9拆项成（x³-x²）+（6x²-6x）+（9x-9），再提取公因式因式分解；
（5）先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底．
点评：此题考查因式分解，涉及到用公式法、分组分解、十字相乘法、提取公因式法，同时都利用了“拆项”“添项”，所以难度较大．