Question

17、把下列各式分解因式：
（1）a⁴+64b⁴；
（2）x⁴+x²y²+y⁴；
（3）x²+（1+x）²+（x+x²）²；
（4）（c-a）²-4（b-c）（a-b）；
（5）x³-9x+8；
（6）x³+2x²-5x-6

Answer 1

分析：（1）先对所给多项式进行变形，a⁴+64b⁴=a⁴+64b⁴+16a²b²-16a²b²，前三项是完全平方式，然后先套用公式a²±2ab+b²=（a±b）²进行变形，再套用公式a²-b²=（a+b）（a-b），进一步分解因式．
（2）先对所给多项式进行变形，x⁴+x²y²+y⁴=x⁴+2x²y²+y⁴-x²y²，然后先套用公式a²±2ab+b²=（a±b）²进行变形，再套用公式a²-b²=（a+b）（a-b），进一步分解因式．
（3）先对所给多项式进行变形，x²+（1+x）²+（x+x²）²=1+2（x+x²）+（x+x²）²，将x+x²看作一个整体，套用公式a²±2ab+b²=（a±b）²进行进一步因式分解即可．
（4）设b-c=x，a-b=y，则c-a=-（x+y），则原式变为：（c-a）²-4（b-c）（a-b）=[-（x+y）]²-4xy，再进一步变形分解因式即可．
（5）应用拆项法，将原式变形为：x³-9x+8=x³-x-8x+8，然后分组分解．
（6）先将原式变形，x³+2x²-5x-6=x³+x²+x²+x-6x-6，然后分组分解．

解答：解：（1）a⁴+64b⁴
=a⁴+64b⁴+16a²b²-16a²b²
=（a²+8b²）²-（4ab）²
=（a²+8b²-4ab）（a²+8b²+4ab）；
（2）x⁴+x²y²+y⁴；
=x⁴+2x²y²+y⁴-x²y²
=（x²+y²）²-（xy）²
=（x²+y²-xy）（x²+y²+xy）；
（3）x²+（1+x）²+（x+x²）²
=1+2（x+x²）+（x+x²）²
=（1+x+x²）²；
（4）设b-c=x，a-b=y，则c-a=-（x+y），
则（c-a）²-4（b-c）（a-b）
=[-（x+y）]²-4xy，
=（x-y）²，
所以（c-a）²-4（b-c）（a-b）
=（b-c-a+b）²
=（2b-a-c）²；
（5）x³-9x+8；
=x³-x-8x+8
=（x³-x）-（8x-8）
=x（x²-1）-8（x-1）
=x（x+1）（x-1）-8（x-1）
=（x-1）（x²+x-8）；
（6）x³+2x²-5x-6
=x³+x²+x²+x-6x-6，
=（x³+x²）+（x²+x）-（6x+6）
=x²（x+1）+x（x+1）-6（x+1）
=（x+1）（x²-x-6）
=（x+1）（x+3）（x-2）．

点评：本题综合考查了因式分解的方法，解题的关键是适当添项、拆项，然后运用公式进行进一步分解因式，注意分解要彻底．