Question

【题目】如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．

（1）求证：CM2=MN.MA；

（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CM=2.

【解析】

（1）由知，根∠CMA=∠NMC据证ΔAMC∽ΔCMN 即可得；

（2）连接OA、DM，由直角三角形PAO中∠P=30°知，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD是等腰直角三角形得CM的长．

（1）中，点是半圆的中点，

，

，

又，

，

，即；

（2）连接、，

是的切线，

，

又，

，

设的半径为，

，

，

解得：，

又是直径，

，

，

是等腰直角三角形，

在中，由勾股定理得，即，

则，

．