Question

（1）已知：如图1，△ABC中，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q．判断线段EP、FQ的数量关系，并证明；
（2）如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于点M，交BC于点N，若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q．（1）中结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

（1）EP、FQ的数量关系是相等．
证明：∠QFA=90°-∠FAQ=∠CAN，
在△FQA与△ANC中，

∠FQA=∠ANC ∠QFA=∠CAN AF=AC

，
∴△FQA≌△ANC（AAS），
∴FQ=AN；
同理△EPA≌△ANB，
∴EP=AN，
∴EP=FQ；

（2）答：（1）中的结论依然成立．理由如下：
过D作PN的平行线分别交FQ、BC于点K、I．
∵∠KFD=90°-∠FDK=∠CDI，
在△FKD与△DIC中，

∠DKF=∠CID ∠KFD=∠CDI DF=DC

∴△FKD≌△DIC（AAS），
∴FK=DI，
∴FQ=FK+KQ=DI+DM=DM+MN；
同理可得，EP=AM+MN，
又∵MN为AD中垂线，
∴AM=MD，
∴EP=AM+MN=DM+MN=FQ．