Question

如图，抛物线y=

3

3

x2+

2

3

3

x-

3

交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC，求E点的坐标；
（3）试判断四边形AEBC的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）当y=0时，

3

3

x2+

2

3

3

x-

3

=0，
解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），
当x=0时，
y=-

3

，
∴C（0，-

3

），
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-

3

）；

（2）由（1）可知AO=3，BO=1，CO=

3

，
作EF⊥AB于F，
∠AFE=∠COB=90°，
∵△ABE是由△ABC旋转180°得到的．
∴AE=BC，∠BAE=∠ABD，
∴△AFE≌△BOC，
∴EF=OC，AF=OB，
∴EF=

3

，AF=1，
∴OF=2，
∴E（-2，

3

）；

（3）四边形AEBC是矩形．
证明：在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理得：
AC=

32+( 3 )2

，BC=

12+( 3 )2

，
∴AC=2

3

，BC=2，
∴AC²=12，BC²=4，
∴AC²+BC²=16，
∵AB²=16，
∴AC²+BC²=AB²
∴∠ACB=90°，
∵四边形AEBC是由三角形ABC绕AB的中点M旋转180°得到的，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形AEBC是矩形．